4.2 Klasszikus valószínűségi mező

Az események és a köztük elvégezhető műveletek, jelölések bemutatása után vezessük be a valószínűség fogalmát. Ahogy azt már említettük, bármely \(A\) esemény bekövetkezésének valószínűségét \(\mathbf{P}(A)\) módon jelöljük. A valószínűségszámítás az alábbi három, Kolmogorov-féle axiómára támaszkodik:

\[\begin{equation} \begin{split} 0\leq\mathbf{P}(A) & \leq 1 \\ \mathbf{P}(\Omega) & =1 \\ \text{ha } A\cap B=\varnothing \text{, akkor } \mathbf{P}(A\cup B) & =\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B) \end{split} \tag{4.3} \end{equation}\]

Azaz a valószínűség egy olyan függvény, amely minden eseményhez egy számot rendel hozzá, méghozzá a 0-1 zárt intervallumból.

A valószínűség meghatározásának és interpretációjának három alapvető megközelítését különböztethetjük meg:

  1. szubjektív: az eseménnyel kapcsolatos egyéni várakozások kifejeződése, amely ennek megfelelően egyénenként változhat. Az ún. bayesi statisztika erősen támaszkodik a szubjektív valószínűségekre, ennek tárgyalása azonban meghaladja tananyagunk kereteit.

  2. objektív: az esemény valószínűségének meghatározásához sok kísérletet végzünk, és feljegyezzük, hogy az esemény bekövetkezett-e, vagy sem. Az objektív valószínűség szerint a relatív gyakoriságok a valószínűséghez fognak közelíteni, ha a kísérletek számát minden határon túl növeljük.

  3. logikai: az esemény valószínűségét elméleti módon, a kísérlet elméleti jellemzői alapján vezeti le, tananyagunkban leginkább ezt a megközelítést alkalmazzuk.

A valószínűség fenti három megközelítése természetesen nem zárják ki egymást, alkalmazásuk inkább a vizsgálandó jelenség összetettségétől függ. Viszonylag egyszerű problémák esetén (érmedobás, kockadobás, mintavétel, stb.) a logikai út vezet eredményre. Amennyiben a kísérlet, vizsgálni kívánt jelenség bonyolultabb, logikai úton nem határozható meg a valószínűsége, de nincs elvi akadálya a kísérlet sokszori elvégzésének, akkor az objektív megközelítés adhat eredményt (számítógépes szimulációk, véletlenszám generálás, stb.). Szubjektív valószínűségeket gyakran használunk a mindennapi életben is, amikor nem képzelhető el a kísérlet sokszori megismétlése, azaz nem véletlen tömegjelenséggel, hanem egyszeri véletlen jelenséggel van dolgunk. A szubjektív valószínűség azonban a tudományos megismerésben is egyre nagyobb szerepet tölt be.

A (4.3) axiómákból levezethető néhány fontos, eseményekre vonatkozó tulajdonság:

  • \(\mathbf{P}(\varnothing)=0\), azaz a lehetetlen esemény valszínűsége 0
  • \(\mathbf{P}(\overline{A})=1-\mathbf{P}(A)\), azaz a komplementer esemény valószínűsége egyből való kivonással kapható meg
  • \(\mathbf{P}(A\cup B)=\mathbf{P}(A)+\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A\cap B)\)
  • ha \(A\subseteq B\), akkor \(\mathbf{P}(A)\leq\mathbf{P}(B)\)

Klasszikus valószínűségi mezőről beszélünk, ha

  • az eseménytérben található elemi események száma véges (jelölje a számukat \(|\Omega|=n\in\mathbb{N}\)),
  • az elemi események valószínűsége pozitív és egyenlő.

Amennyiben a két fenti feltétel teljesül, könnyen belátható, hogy minden elemi esemény valószínűsége

\[\begin{equation} \mathbf{P}(\omega_1)=\dots=\mathbf{P}(\omega_n)=1/n \tag{4.4} \end{equation}\]

hiszen

\[ 1=\mathbf{P}(\Omega)=\mathbf{P}\Bigg(\bigcup\limits_{i=1}^n\omega_i\Bigg)=\sum_{i=1}^n\mathbf{P}(\omega_i)=n\mathbf{P}(\omega_1) \]

A gyakorlatban jellemzően nem egyetlen elemi esemény, hanem egy komplexebb jelenség, azaz egy \(A\) esemény valószínűségét szeretnénk meghatározni. Tegyük fel, hogy az \(A\in\mathcal{A}\) esemény \(k\) darab elemi -- kedvező -- eseményből áll, azaz \(A=\{\omega_1,\dots,\omega_k\}\), ekkor

\[\begin{equation} \mathbf{P}(A)=\mathbf{P}(\omega_1\cup\dots\cup\omega_k)=\mathbf{P}(\omega_1)+\dots+\mathbf{P}(\omega_k)=k\cdot \frac{1}{n}=\frac{k}{n} \tag{4.5} \end{equation}\]

azaz az esemény valószínűségét a klasszikus valószínűségi mező feltételrendszerében a kedvező események és az összes esemény számának hányadosaként számítjuk.

A pénzérme, vagy a kocka egyszeri feldobásának modellje könnyen beláthatóan illeszkedik a klasszikus valószínűségi mező feltételrendszeréhez. A lehetséges események száma véges (\(n=2\), illetve \(n=6\)), és azt feltételezzük, hogy bekövetkezési valószínűségeik megegyeznek (fair érme, illetve dobókocka). Ennek megfelelően egy elemi esemény valószínűsége \(1/2\), illetve \(1/6\). A pénzérme esetén nehéz komplex eseményt definiálni az elemi események kis száma miatt, de a kockadobás esetére (4.5) már alkalmazható. Legyen az \(A\) esemény az, hogy a dobás páros, ekkor a kedvező esetek (\(A=\{2,4,6\}\)) könnyen megszámlálhatók, azaz \(k = 3\), a keresett valószínűség pedig \(\mathbf{P}(A)=\frac{1}{2}\).

Más esetekben a klasszikus valószínűségi mező alkalmazhatósága nem ilyen egyszerűen belátható. A lottóhúzás esetén például tudjuk, hogy az öttalálatos szelvény valószínűsége jóval kisebb, mint például az egytalálatosé, így első ránézésre azt gondolhatjuk, hogy itt nem alkalmazható a klasszikus valószínűségi mező feltételrendszere és képletei. Ne felejtsük el azonban, hogy a lehetséges számötösök száma véges, valószínűségük pedig egyenlő, így ebben a szituációban is alkalmazható (4.5), ahogy azt a 5.3.4. fejezetben látni fogjuk.

Nem csak a klasszikus valószínűségi mező létezik, jelen tananyagunkban azonban csak ezt az egyet említjük meg. Az ún. geometriai valószínűségi mező is fontos szerepet játszik, alkalmazásakor jellemzően idomok területeinek, vagy térfogatainak arányaként határozunk meg valószínűségeket.

A (4.5) egyenlet tehát azt mondja röviden, hogy a klasszikus valószínűségi mező feltételrendszerében a valószínűséget a "kedvező per összes" módon számítjuk. Sok egyszerű esetben ez nem okoz különösebb problémát, azonban összetettebb szituációkban a kedvező, és/vagy összes esetek megszámlálása nem mindig egyszerű. Az esetek megszámlálásában segít a kombinatorika, jelen tananyagban három, elemi események megszámlálását segítő technikát említünk meg.1

  • permutáció: arra a kérdésre ad választ, hogy \(n\) objektumot hányféleképpen lehet sorba rakni. Mivel az első helyre \(n\) objektum közül választhatunk, a másodikra \(n-1\), stb, az összes lehetséges sorrend:

\[\begin{equation} P_n=n!=n\cdot (n-1)\cdots 2\cdot 1 \tag{4.6} \end{equation}\]

  • variáció: arra a kérdésre ad választ, hogy \(n\) objektumot hányféleképpen lehet \(k\) helyre sorba rakni, ha ismétlődhetnek az elemek. Mivel minden helyre minden objektumot elhelyezhetjük, ezért a lehetséges esetek száma:

\[\begin{equation} V_n^k=n^k \tag{4.7} \end{equation}\]

  • kombináció: arra a kérdésre ad választ, hogy \(n\) objektum közül hányféleképpen lehet kiemelni \(k\) darabot úgy, hogy a sorrend nem számít:

\[\begin{equation} C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \tag{4.8} \end{equation}\]

  1. A három technika tárgyalásakor \(k\) és \(n\) betűket használunk, ami azért nem szerencsés, mert a kedvező esetek és az összes eset jelölésére is ezeket a betűket használtuk. Az alábbi pontokban \(n\) és \(k\) csupán tetőszleges számokat jelölnek, amik segítségével számláljuk meg az elemi események számát.↩︎